Question

已知函数f（x）=x|x-a|，（a≠0）
（1）写出f（x）的单调区间（用a表示）
（2）若f（x）在[3，+∞）上单调递增，求a的取值范围
（3）若f（x）在（m，n）上既存在最大值又存在最小值，求m和n的取值范围（用a表示）

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）对a分类讨论，去掉绝对值，把函数化为二次函数求出函数的单调区间；
（2）利用（1）的结论即可得出；
（3）a≠0，f（x）=

x(x-a) x≥a x(a-x) x＜a

，分a＞0和a＜0两种情况，分别画出函数f（x）的图象，结合图象，根据题中要求，分别求出m、n的取值范围．

解答： 解：（1）当x≥a时，f（x）=x（x-a）
∴a＞0时，f（x）的单调递增区间是[a，+∞），
a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，

a

2

），递增区间是（

a

2

，+∞）
当x＜a时，f（x）=x（a-x），
∴a＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，

a

2

），递减区间是（

a

2

，a），
a＜0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，a）．
（2）由（1）可知若f（x）在[3，+∞）上单调递增，则a＜0．
（3）a≠0，f（x）=

x(x-a) x≥a x(a-x) x＜a

．
①当a＞0时，f（x）的图象如图1所示：显然函数f（x）在（-∞，a）上的最大值为f（

a

2

）=

a2

4

．
由

y= a2 4 y=x(x-a)

，解得x=

1+ 2

2

a．
由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

1+ 2

2

a．
   图1  图2 
 
②当a＜0时，如图2所示：显然函数f（x）在（a，+∞）上的最小值为f（

a

2

）=-

a2

4

由

y=- a2 4 y=x(a-x)

解得 x=

1+ 2

2

a．
由于函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，故有

1+ 2

2

a≤m＜a，

a

2

＜n≤0．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数图象和性质，二次函数的性质应用，体现了分类讨论和数形结合的数学思想，属于中档题．