Question

19．已知数列{a_n}中a₁=1，a₂=$\frac{1}{1+2}$，a₃=$\frac{1}{1+2+3}$，a₄=$\frac{1}{1+2+3+4}$，…a_n=$\frac{1}{1+2+3++n}$…，则数列{a_n}的前n项的和s_n=（　　）

• A． $\frac{2n}{n+1}$
• B． $\frac{n+1}{n}$
• C． $\frac{n}{n+1}$
• D． $\frac{2n}{2n+1}$

Answer 1

分析 a_n=$\frac{1}{1+2+3++n}$=$\frac{1}{\frac{n（n+1）}{2}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{1+2+3++n}$=$\frac{1}{\frac{n（n+1）}{2}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{a_n}的前n项的和s_n=2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$2（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．