Question

12．已知动点P到y轴的距离比它到点M（-1，0）的距离少1．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若直线l：x+y+1=0与动点P的轨迹交于A、B两点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）设出P的坐标，由题意列式，对x分类化简得答案；
（2）联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及抛物线的焦点弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（1）设P（x，y），则|x|+1=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$．
若x＞0，则x+1=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，两边平方并整理得y=0；
若x＜0，则1-x=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，两边平方并整理得y²=-4x．
∴P点轨迹方程为y=0（x＞0）或y²=-4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=-4x\\ x+y+1=0\end{array}\right.$，消去y得：x²+6x+1=0．
则x₁+x₂=-6，
∴|AB|=2-（x₁+x₂）=8，
原点O到直线x+y+1=0的距离d=$\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．