Question

20．已知点P在椭圆x²+$\frac{y^2}{4}$=1上，求点P到直线l：x+y=4的距离的最大值与最小值．

Answer 1

分析 设出椭圆的参数方程，利用点到直线的距离公式，结合三角函数，利用三角函数的有界性求解即可．

解答 解：椭圆x²+$\frac{y^2}{4}$=1，则椭圆参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$，
点P（cosθ，2sinθ）
则$d=\frac{{|{cosθ+2sinθ-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{5}sin（θ+ϕ）-4}|}}{{\sqrt{2}}}$，其中tanϕ=$\frac{1}{2}$．
点P到直线l：x+y=4的距离的最大值$\frac{{4\sqrt{2}+\sqrt{10}}}{2}$，最小值$\frac{{4\sqrt{2}-\sqrt{10}}}{2}$．

点评 本题考查点到直线的距离公式的应用，椭圆的参数方程的求法与应用，也可以设出平行线方程，利用切线之间的距离求解．