Question

16．设f（x）在（-∞，+∞）内有定义．证明：φ（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$是偶函数，而Φ（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$是奇函数，并由此说明任何函数f（x）都可表示成奇函数与偶函数的和．

Answer 1

分析 利用奇偶函数的定义，即可证明结论．

解答 证明：∵φ（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$，
∴φ（-x）=$\frac{f（-x）+f（x）}{2}$=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$=φ（x），
∴φ（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{2}$是偶函数，
同理可得Φ（x）=$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$是奇函数，
两式相加可得f（x）=φ（x）+Φ（x）；
两式相减可得f（x）=φ（x）-Φ（x）．

点评 本题考查函数奇偶性的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．