Question

5．下列函数中，y的最小值为4的是（　　）

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=2（2^x+2^-x）
• C． y=$\frac{2（{x}^{2}+5）}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$
• D． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）

Answer 1

分析 根据基本不等式和一正二定三相等，依次判断各个选项是否正确．

解答 解：A、当x＞0时，y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4（当且仅当$x=\frac{4}{x}$时取等号），但是当x＜0时不成立，A不正确；
B、因为2^x＞0，所以y=2（2^x+2^-x）≥2•2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=4（当且仅当2^x=2^-x时取等号即x=0时），则y的最小值为4，B正确；
C、y=$\frac{2（{x}^{2}+4+1）}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=2（$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$）≥4，当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$时取等号，
但是此时x无解，则y＞4，C不正确；
D、因为0＜x＜π，所以0＜sinx≤1，则y=sinx+$\frac{4}{sinx}$≥4，当且仅当sinx=$\frac{4}{sinx}$时取等号，此时sinx=2，
当时sinx=2不成立，则y＞4，D不正确，
故选：B．

点评 本题考查基本不等式的应用，必须验证一正二定三相等，特别等号成立的条件．