Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2a₂=a₁+a₃，数列

sn

是公差为1的等差数列．数列{b_n}满足：b_n=

1

2

，b_n+1=

n+1

2n

b_n．求数列{a_n}，{b_n}的通项公式及前n项和．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a₁、d的方程，求出a₁，进而推出S_n，再利用a_n与S_n的关系求出a_n．
设b_n=nc_n（n∈N^*）．根据等比数列的定义证明数列{c_n}是等比数列，首项为

1

2

，公比为

1

2

，即可求等比数列的通项公式，可得b_n=nc_n=

n

2n

，利用“错位相减法”即可得到T_n．

解答： 解：由题意知：d＞0，

Sn

=

a1

+（n-1）d，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴3a₂=S₃，即3（S₂-S₁）=S₃，
∴3[（

a1

+d）²-a₁]=（

a1

+2d）²，
化简，得：

a1

=d，
∴

Sn

=nd，S_n=n²d²，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²d²-（n-1）²d²=（2n-1）d²，适合n=1情形．
故所求a_n=（2n-1）d²．
设b_n=nc_n（n∈N^*）．
由b_n+1=

n+1

2n

b_n，可得

cn+1

cn

=

1

2

．
∴数列{c_n}是等比数列，首项为

1

2

，公比为

1

2

，
∴c_n=

1

2n

．
∴b_n=nc_n=

n

2n

．
∴T_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

，
∴

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．

点评：本小题主要考查等差数列的通项、求和；考查等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．