Question

四棱锥S-ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角S-CM-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取SD的中点R，连结AR、RN，由已知得四边形AMNR是平行四边形，从而MN∥AR，由此能证明MN∥平面SAD．
（Ⅱ）向量法：取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角S-CM-D的余弦值．
几何法：取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM=H，连结SH，则∠SHO是二面角S-CM-D的平面角，由此能求出二面角S-CM-D的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如图，取SD的中点R，连结AR、RN，
则RN∥CD，且RN=

1

2

CD，AM∥CD，
所以RN∥AM，且RN=AM，
所以四边形AMNR是平行四边形，
所以MN∥AR，由于AR平面SAD，MN在平面SAD外，
所以MN∥平面SAD．（4分）
（Ⅱ）解法1：取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，
则C（-1，2，0），M（1，1，0），S（0，0，

3

），

CM

=（2，-1，0），

SM

=（1，1，-

3

），
设面SCM的法向量为

n1

=（x，y，z），（6分）
则

n1 • CM =2x-y=0 n2 • SM =x+y- 3 z=0

，
令x=1，得

n1

=（1，2，

3

），由已知得面ABCD的法向量

n2

=（0，0，1），（8分）
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

8

=

6

4

，
所以二面角S-CM-D的余弦值为

6

4

．（12分）
解法2：如图，取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM=H，连结SH，由SO⊥AD，且面SAD⊥面ABCD，
所以SO⊥平面ABCD，SO⊥CM，
由已知得△ABO≌△BCM，所以∠ABO=∠BCM，
则∠BMH+∠ABO=∠BMH+∠BCM=90°，
所以OB⊥CM，则有SH⊥CM，
所以∠SHO是二面角S-CM-D的平面角，
设AB=2，则OB=

5

，BH=

2 5

5

，OH=

3 5

5

，
OS=

3

，SH=

( 3 )2+( 3 5 5 )2

=

2 30

5

，
则cos∠SHO=

OH

SH

=

6

4

，
所以二面角S-CM-D的余弦值为

6

4

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．