Question

当a为何值时，方程x³-3x²-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根或者有没有可能无实根？

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,数形结合,分类讨论,导数的综合应用

分析：令函数f（x）=x³-3x²，求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极值，再作出直线y=a和y=x³-3x²，通过观察直线和曲线分别有0个交点、1个交点、2个交点和3个交点的情况即可．

解答： 解：令函数f（x）=x³-3x²，则导数为
f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，解得，x＞2或x＜0，f（x）递增；
由f′（x）＜0，解得，0＜x＜2，f（x）递减．
则有f（x）在x=0处取得极大值，且为0，
f（x）在x=2处取得极小值，且为-4．
方程x³-3x²-a=0，即有a=x³-3x²，
作出直线y=a和y=x³-3x²，
由于y=x³-3x²在（2，+∞），（-∞，0）内递增，
在（0，2）内递减，
则y=x³-3x²在x=0处取得极大值，且为0，
在x=2处取得极小值，且为-4．
通过图象观察，可得，当a＞0或a＜-4时，有1个交点，即f（x）有1个零点；
当a=0或-4，有2个交点，即f（x）有2个零点；
当-4＜a＜0，有3个交点，即f（x）有3个零点，
则不可能没有零点．
综上可得，当a＞0或a＜-4时，方程恰有一个实根；
当a=0或-4时，方程有两个不相等的实根；
当-4＜a＜0时，方程有3个实根；
不管a为何值，方程均有实根，不可能没有实根．

点评：本题考查函数的导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的零点的求法，注意运用数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．