Question

18．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（-1）=2．
（1）求f（0）的值和判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证：函数f（x）是在R上的减函数；
（3）求函数f（x）在区间[-2，4]上的值域．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），可得f（0）．令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即可得出函数f（x）的奇偶性．
（2）任取实数x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，这时，x₂-x₁＞0，f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=-f（x₂-x₁），由x＞0时，f（x）＜0，即可证明．
（3）由（II）可知：f（x）的最大值为f（-2），最小值为f（4）．利用f（-1）=2，可得f（1）=-2．即可得出．

解答 （1）解：令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）证明：任取实数x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，这时，x₂-x₁＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₁）=-f（x₂-x₁），
∵x＞0时f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在R上是减函数．
（3）解：由（II）可知：f（x）的最大值为f（-2），最小值为f（4）．
∵f（-1）=2，∴-f（1）=2，即f（1）=-2．
而f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=-4，∴f（-2）=-f（2）=4．
f（4）=f（2+2）=2f（2）=4f（1）=-8．
∴函数f（x）在区间[-2，4]上的值域为[-8，4]．

点评 本题考查了抽象函数的单调性与奇偶性、求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．