题目内容

8．已知a＞0，b＞0，记m是$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，a2+b2-1三者中的最大值，则m的最小值是1．

分析 由于m是$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，a2+b2-1三者中的最大值，可得$m≥\frac{1}{a}$＞0，$m≥\frac{1}{b}$＞0，m≥a2+b2-1，可得$m≥\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{2}}$-1，解出即可．

解答 解：∵m是$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，a2+b2-1三者中的最大值，∴$m≥\frac{1}{a}$＞0，$m≥\frac{1}{b}$＞0，m≥a2+b2-1，∴$a≥\frac{1}{m}$，$b≥\frac{1}{m}$，
∴$m≥\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{2}}$-1，化为m3+m2-2≥0，因式分解为（m-1）（m2+2m+2）≥0，解得m≥1，因此m的最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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