题目内容

19．已知a为常数，若曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（　　）
A．[-$\frac{1}{2}$，+∞）B．（-∞，-$\frac{1}{2}$]C．[-1，+∞）D．（-∞，-1]

分析 根据题意，曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，转化为f′（x）=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．

解答 解：令y=f（x）=ax2+3x-lnx，
由题意，x+y-1=0斜率是-1，则与直线x+y-1=0垂直的切线的斜率是1，
∴f′（x）=1有解
∵函数的定义域为{x|x＞0}，
∴f′（x）=1有正根，
∵f（x）=ax2+3x-lnx，
∴f′（x）=2ax+3-$\frac{1}{x}$=1有正根
∴2ax2+2x-1=0有正根
∴2a=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）2-1
∴2a≥-1，
∴a≥-$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查导数知识的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，属于中档题．

练习册系列答案
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9．设函数f（x）=ex+ax-1（a∈R）．
（1）当a=1时，求方程 f（x）=0的根；
（2）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求a的取值范围．
10．已知$\overrightarrow{a}$=（2，-4），$\overrightarrow{b}$=（-1，3），$\overrightarrow{c}$=（6，5），$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$．
（1）求$\overrightarrow{p}$的坐标；
（2）若以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为基底，求$\overrightarrow{p}$的表达式．
7．“函数f（x）=sin（x+φ）为奇函数”是“φ=0”的必要不充分条件．
14．设M=（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1），且a+b+c=1，（a、b、c∈R+），则M的取值范围是（　　）
A．[0，$\frac{1}{8}$]B．[$\frac{1}{8}$，1]C．[1，8]D．[8，+∞）
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11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax2+lnx，g（x）=-bx，设h（x）=f（x）-g（x）                     
（1）若f（x）在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处取得极值，且f′（x）=g（$\frac{1}{x}$）-2x，求函数h（x）的单调区间．
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8．已知a＞0，b＞0，记m是$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，a2+b2-1三者中的最大值，则m的最小值是1．
9．a、b、c∈R且ab＞0，则下面推理中正确的是（　　）
A．a＞b⇒am2＞bm2B．$\frac{a}{c}$＞$\frac{b}{c}$⇒a＞bC．a3＞b3⇒$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$D．a2＜b2⇒a＞b

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