Question

20．函数f（x）=sin2x+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，函数g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），若对所有的x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]总存在x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是[1，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 分别求得f（x）、g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从而求得实数m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$（2cos²x-1）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
当x∈[0，$\frac{π}{4}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．
对于g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，mcos（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{m}{2}$，m]，
∴g（x）∈[-$\frac{3m}{2}$+3，3-m]．
由于对所有的x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]总存在x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
可得[-$\frac{3m}{2}$+3，3-m]⊆[1，2]，
故有 3-m≤2，-$\frac{3m}{2}$+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，$\frac{4}{3}$]．
故答案为：$[1，\frac{4}{3}]$．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]总存在x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得f（x₁）=g（x₂）成立”的含义，属于难题．