Question

已知函数f（x）=sinx-sin（x-

π

3

）
（Ⅰ）求f（

π

6

）；
（Ⅱ）求f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，直接求得 f(

π

6

)=sin

π

6

-sin(

π

6

-

π

3

) 的值．
（Ⅱ）化简函数的解析式为f（x）=sin(x+

π

3

)，根据-

π

2

≤x≤

π

2

，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得 f(

π

6

)=sin

π

6

-sin(

π

6

-

π

3

)=sin

π

6

-sin(-

π

6

)=sin

π

6

+sin

π

6

=2sin

π

6

=1．
（Ⅱ）∵f(x)=sinx-

1

2

sinx+

3

2

cosx=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin(x+

π

3

)，
∵-

π

2

≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤x+

π

3

≤

5π

6

，-

1

2

≤sin(x+

π

3

)≤1，
所以，f（x）的取值范围是[-

1

2

，1]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．