Question

已知x²+y²=4的圆内有P与A（-2，0），B（2，0），连接PA、PB，|

PA

|•|

PB

|=|

PO

|²．求

PA

•

PB

范围．（运用

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|•cosθ求解）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：由|

PA

|•|

PB

|=|

PO

|²，设点P（x，y），代入化简可得x²=y²+2．由点P在圆内可得 x²+y²＜4，可得0≤y²＜1．化简

PA

•

PB

=2（y²-1），从而求得

PA

•

PB

的取值范围．

解答： 解：圆O与x轴相交于A（-2，0）、B（2，0）两点，
圆内的动点P满足|

PA

|•|

PB

|=|

PO

|²，
设点P（x，y），
 则有

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²，
即

(x2+y2+4)2-(4x)2

=x²+y²，
两边平方，化简可得 x²=y²+2．
由点P在圆内可得 x²+y²＜4，故有 0≤y²＜1．
∵

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=2（y²-1）∈[-2，0）．
即

PA

•

PB

的取值范围是[-2，0）．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两个向量的数量积的定义和坐标表示，属于中档题．