Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）在x=-

2

3

与x=1时都取得极值．
（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-2c在区间[-1，2]内恰有两个零点，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=3x²+2ax+b，再由题意可得

f′(- 2 3 )= 4 3 -2a× 2 3 +b=0 f′(1)=3+2a+b=0

，从而求出a，b；再求单调区间；
（2）由（1）列表，从而可得-

3

2

+c＜2c＜

1

2

+c或2c=

22

27

+c，从而解得．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵x=-

2

3

与x=1时都取得极值，
∴

f′(- 2 3 )= 4 3 -2a× 2 3 +b=0 f′(1)=3+2a+b=0

，
解得，a=-

1

2

，b=-2；
此时f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
经检验，-

2

3

与1是函数的极值点；
令f′（x）＞0，则x＜-

2

3

或x＞1；
令f′（x）＜0，则-

2

3

＜x＜1；
∴单调增区间为（-∞，-

2

3

），（1，+∞），单调减区间为（-

2

3

，1）．
（2）由（1）得

x	-1	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		正	0	负	0	正
f（x）	1 2 +c	单调递增	22 27 +c	单调递减	- 3 2 +c	单调递增	2+c

∵函数g（x）=f（x）-2c在区间[-1，2]内恰有两个零点，
∴-

3

2

+c＜2c＜

1

2

+c或2c=

22

27

+c，
即-

3

2

＜c＜

1

2

或c=

22

27

；
∴c的取值范围为-

3

2

＜c＜

1

2

或c=

22

27

．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与函数图象的关系应用，属于中档题．