Question

如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为

1

2

，那么点M到平面EFGH的距离是

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：以E为原点，EF为x轴，EH为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，设M（0，b，c），00≤b≤2，0≤c≤1，利用向量法能求出点M到平面EFGH的距离．

解答： 解：以E为原点，EF为x轴，EH为y轴，EA为z轴，
建立空间直角坐标系，
设M（0，b，c），00≤b≤2，0≤c≤1，
则G（1，2，0），F（1，0，0），H（0，2，0），

GM

=（-1，b-2，c），

GF

=（0，-2，0），

GH

=（-1，0，0），
cos＜

GM

，

GF

＞=

4-2b

2 1+(b-2)2+c2

，
cos＜

GM

，

GH

＞=

1

1+(b-1)2+c2

，
∵∠MGF=∠MGH，
∴

4-2b

2 1+(b-2)2+c2

=

1

1+(b-1)2+c2

，解得b=1．
∴

GM

=（-1，-1，c），又平面EFG的法向量

n

=（0，0，1），MG和平面EFG所成角的正切值为

1

2

，
∴|cos＜

GM

，

n

＞|=

c

2+c2

=

1

5

，
由0≤c≤1，解得c=

2

2

，
∴

GM

=（-1，-2，

2

2

），
∴点M到平面EFGH的距离d=

| GM • n |

| n |

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．