Question

若|x|≤

π

4

，且f（x）=cos²x-acosx的最小值为-

1

4

，求a的值

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：由题意可得

2

2

cosx≤1，f（x）=(cosx-

a

2

)2-

a2

4

，再根据f（x）的最小值为-

1

4

，利用二次函数的性质分类讨论求得a的值．

解答： 解：由|x|≤

π

4

，可得

2

2

≤cosx≤1，又f（x）=cos²x-acosx=(cosx-

a

2

)2-

a2

4

，
∴当

a

2

＜

2

2

时，则由f（x）的最小值为(

2

2

-

a

2

)2-

a2

4

=-

1

4

，求得a=

3 2

4

；
当

a

2

∈[

2

2

，1]时，则由f（x）的最小值为-

a2

4

=-

1

4

，求得a=1，或 a=-1（舍去）；
当

a

2

＞1时，则由f（x）的最小值为1-a=-

1

4

，求得a=

5

4

（舍去）．
综上可得，a=

3 2

4

，或a=1，
故答案为：

3 2

4

，或1．

点评：本题主要考查余弦函数的定义域和值域，二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属中档题．