Question

12．双曲线C的中心在原点，右焦点为F（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），一条渐近线方程为y=$\sqrt{3}$x，
（1）求双曲线C方程
（2）设直线L：y=kx+1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？

Answer 1

分析 （1）依题意，由其焦点坐标与渐近线方程可求得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=1，从而可得双曲线C的方程；
（2）联立直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1可得（3-k²）x²-2kx-2=0，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依题意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理，继而可解得k的值．

解答 解：（1）由题意c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=1，
∴双曲线C方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}-{y}^{2}$=1；
（2）由直线L：y=kx+1与双曲线，联立得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，且k≠±$\sqrt{3}$．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，
所以 x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2}{{k}^{2}-3}$
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，
即k²$\frac{2}{{k}^{2}-3}$+k•（$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$）+1+$\frac{2}{{k}^{2}-3}$=0，
解得k=±1．

点评 本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．