Question

20．在平面直角坐标系xOy中，直线x-y+2=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为2$\sqrt{2}$，
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，求|DE|的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线x-y+2=0的距离，再由已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理求出圆O的半径，写出圆O的方程即可；
（2）设出直线l的截距式方程，由直线l与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关系式，表示出DE的平方，将得出的关系式代入，整理后利用基本不等式求出DE平方的最小值，得到此时a与b的值，即可确定出此时直线l的方程．

解答 解：（1）∵圆心O到直线x-y+2=0的距离d=$\sqrt{2}$，直线截圆所得的弦长为2$\sqrt{2}$，
∴圆O的半径r=$\sqrt{2+2}$=2，
则圆O的方程为x²+y²=4；
（2）设直线l的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，
∵直线l与圆O相切，∴圆心到直线的距离d=r，即$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2，
整理得：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
则DE²=a²+b²=4（a²+b²）•（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$）=4（2+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）≥16，
当且仅当a=b=2时取等号，|DE|的最小值为4，此时直线l方程为x+y-2$\sqrt{2}$=0．

点评 此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，直线的截距式方程，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．