Question

【题目】已知曲线上的点与定点的距离与它到直线的距离的比是常数，又斜率为的直线与曲线交于不同的两点。

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若，求 的最大值；

（Ⅲ）设，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为.若和点 共线，求的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）2.

【解析】

（Ⅰ）由已知条件点到点的距离与点到线的距离之比是常数，列出关系式，化简求出曲线方程

（Ⅱ）根据题意设直线 的方程为，联立直线方程与曲线方程，运用弦长公式求出弦长表达式，求出最大值

（Ⅲ）设出点坐标，联立直线方程与曲线方程，再由三点共线求出的值

解：（Ⅰ）根据题意可得：

整理得：

故曲线 的方程为

（Ⅱ）设直线 的方程为，

由消去 可得

则

设则

则

易得当，，故的最大值为

（Ⅲ）设

则 ①， ②，

又，所以可设，直线 的方程为

由消去可得

则

即

代入①式可得，所以

所以，同理可得

因为三点共线，所以

将点的坐标代入化简可得，即 ．