Question

【题目】如图是函数的部分图象.

（1）求函数的表达式；

（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；

（3）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）

【解析】

（1）根据图像先确定A,再确定，代入一个特殊点再确定。

（2）根据（1）的结果结合图像即可解决。

（3）根据（1）的结果以及三角函数的变换求出即可解决。

解：（Ⅰ）由图可知：，即，

又由图可知：是五点作图法中的第三点，

，即．

（Ⅱ）因为的周期为，在内恰有个周期.

⑴当时，方程在内有个实根，

设为，结合图像知 ，

故所有实数根之和为 ；

⑵当时，方程在内有个实根为，

故所有实数根之和为 ；

⑶当时，方程在内有个实根，

设为，结合图像知 ，

故所有实数根之和为 ；

综上：当时，方程所有实数根之和为 ；

当时，方程所有实数根之和为 ；

（Ⅲ），

函数的图象如图所示：

则当图象伸长为原来的倍以上时符合题意，

所以．