Question

如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由
B沿棱柱侧面经过棱C C₁到点A₁的最短路线长为,设这条最短路线与CC₁的交
点为D．
（1）求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积；
（2）在平面A₁BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；
（3）证明：平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．

Answer 1

(1)  (2)在平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行  
(3)证明见解析

(1)如图，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到点B₂的位置，连接A₁B₂，则A₁B₂就是由点B沿棱柱侧面经过棱CC₁到点A₁的最短路线。                                            ……………………………………1分
设棱柱的棱长为，则B₂C=AC=AA₁＝,
∵CD∥AA₁∴D为CC₁的中点，……………………………2分
在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得，
即　解得，……………………4分
∵∴ ……………………………………6分
(2)设A₁B与AB₁的交点为O,连结BB₂,OD，则……………………………7分
∵平面，平面 ∴平面，
即在平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行   ……………………………9分
(3)连结AD,B₁D∵≌≌
∴  ∴……………………………11分
　∵    ∴平面A₁ABB₁     ……………………………13分
又∵平面A₁BD   ∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁  ……………………………………14分