Question

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点
(Ⅰ)证明：AM⊥PM ；
(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；
(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离

Answer 1

(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)45°(Ⅲ)

(Ⅰ) 取CD的中点E，连结PE、EM、EA.
∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD          （2分）
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3
∴                          （4分）
，又在平面ABCD上射影：
∴∠AME=90°，      ∴AM⊥PM                  （6分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角           （8分）
∴tan ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D为45°；                   （10分）
(Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为，连结DM，则
 ，   ∴
而                         （12分）
在中，由勾股定理可求得PM=
,所以：∴
即点D到平面PAM的距离为                       （14分）
解法2：(Ⅰ) 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
依题意，可得
    ……2分
∴
     （4分）
∴ 
即,∴AM⊥PM             （6分）
(Ⅱ)设，且平面PAM，则
  即
∴ ，   
取，得                    （8分）
取，显然平面ABCD，   ∴
结合图形可知，二面角P－AM－D为45°；    （10分）
(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则
=
即点D到平面PAM的距离为              （14分）