Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠， AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）设，
求k的值.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

（Ⅰ）证明：.………………………2分
PA⊥平面ABCD，AD⊥CD. ……………………………………………3分
. ………………………………………5分
∴ CD⊥平面BEF. ……………………………………………………………………6分                          
（Ⅱ）连结AC且交BF于H，可知H是AC中点，连结EH,
由E是PC中点,得EH∥PA,  PA⊥平面ABCD.
得EH⊥平面ABCD，且EH.…………………………………………8分
作HM⊥BD于M，连结EM，由三垂线定理可得EM⊥BD.
故∠EMH为二面角E—BD—F的平面角，故∠EMH=60⁰.……………………10分
∵ Rt△HBM∽Rt△DBF,
 故.
得,   得.
在Rt△EHM中，  
得………………………………………………………12分
解法2：（Ⅰ）证明，以A为原点，
建立如图空间直角坐标系.
则，，
设PA = k,则,
,.………………………………………………………2分
得.…………………………4分
有………………6分
(Ⅱ)…7分     .
设平面BDE的一个法向量，
则   得  取……………10分                   由 ………………………………………11分
得 …………………12分