题目内容
如图，在长方体A BCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥AB，AF⊥A1D．（I）求证：A1C⊥平面A EF；
（Ⅱ）若AB=4，AD=3，AA1=5，求平面AEF和平面D1B1BD所成的角的正弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（I）方法一，利用向量方法，方法二，利用线面垂直的性质证明：A1C⊥AE，A1C⊥AF，根据线面垂直的判定定理，可得A1C⊥平面A EF；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面AEF、平面D1B1BD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEF和平面D1B1BD所成的角的正弦值．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面AEF、平面D1B1BD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEF和平面D1B1BD所成的角的正弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：方法一：∵
•
=(
+
)•
=
•
=
•(
+
)=0，
∴A1C⊥AE，
∵
•
=(
+
)•
=
•
=
•(
+
)=0，
∴A1C⊥AF．∴A1C⊥平面AEF．…（6分）
方法二：∵BC⊥平面ABB1A1，AE?平面ABB1A1，
∴BC⊥AE．
又∵AE⊥A1B，∴AE⊥平面A1BC．
∵A1C?平面A1BC，∴AE⊥A1C．
同理可证AF⊥A1C．
∵AE∩AF=A，
∴A1C⊥平面AEF． …（6分）
（Ⅱ）解：如图，以为AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
因为AB=4，AD=3，AA1=5，得到下列坐标：A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，3，0），A1（0，0，5），B1（4，0，5），C1（4，3，5）D1（0，3，5）．
由（Ⅰ）知，
=(4，3，-5)是平面AEF的一个法向量．
设平面D1B1BD的法向量为
=(x，y，0)，则
•
=0．
∵
=(-4，3，0)，∴-4x+3y=0．
令x=3，y=4，则
=(3，4，0)．
∴cos＜
，
＞=
=
=
．
∴sinθ=
=
．
∴平面AEF和平面D1B1BD所成的角的正弦值为
．…（12分）
| A1C |
| AE |
| A1B |
| BC |
| AE |
| BC |
| AE |
| BC |
| AB |
| BE |
∴A1C⊥AE，
∵
| A1C |
| AF |
| A1D |
| DC |
| AF |
| DC |
| AF |
| DC |
| AD |
| DF |
∴A1C⊥AF．∴A1C⊥平面AEF．…（6分）
方法二：∵BC⊥平面ABB1A1，AE?平面ABB1A1，
∴BC⊥AE．
又∵AE⊥A1B，∴AE⊥平面A1BC．
∵A1C?平面A1BC，∴AE⊥A1C．
同理可证AF⊥A1C．
∵AE∩AF=A，
∴A1C⊥平面AEF． …（6分）
（Ⅱ）解：如图，以为AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
因为AB=4，AD=3，AA1=5，得到下列坐标：A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，3，0），A1（0，0，5），B1（4，0，5），C1（4，3，5）D1（0，3，5）．
由（Ⅰ）知，
| A1C |
设平面D1B1BD的法向量为
| a |
| a |
| B1D1 |
∵
| B1D1 |
令x=3，y=4，则
| a |
∴cos＜
| a |
| AC |
| ||||
|
|
| 3×4+4×3+0×(-5) | ||||
|
12
| ||
| 25 |
∴sinθ=
1-(
|
| ||
| 25 |
∴平面AEF和平面D1B1BD所成的角的正弦值为
| ||
| 25 |
点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，属于中档题．
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