Question

过圆x²+y²=1上一点Q作圆的一点切线L，则L和抛物线y=

1

4

x²+1有公共点的概率是多少？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,几何概型,抛物线的标准方程

专题：数形结合,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出切线方程，通过切线与抛物线以及圆相切，求出切线的斜率，推出切点之间的圆心角的范围，利用几何概型求出满足题意的概率．

解答： 解：如图，由题意可知切线的斜率存在．
设切线方程为：y=kx+m，m＜0．
切线L和抛物线y=

1

4

x²+1有公共点，
则

y=kx+m y= 1 4 x2+1

，消去y可得：

1

4

x²-kx-m+1=0，∴△=k²+m-1=0…①，
直线L与圆相切，可得

|m|

1+k2

=1…②，
解①②可得，m=1（舍去），或m=-2，此时k=±

3

，
切线的倾斜角为：

π

3

或

2π

3

，
此时两个切点之间的圆心角为：

2π

3

，
切线L和抛物线y=

1

4

x²+1有公共点的圆心角是

4π

3

，
切线L和抛物线y=

1

4

x²+1有公共点的概率：

4π 3

2π

=

2

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查几何概型，直线与圆相切条件的应用，直线的斜率与倾斜角的关系，是综合性比较强题目．