Question

11．已知函数f（x）=|x+1|+|m-x|（其中m∈R）．
（1）当m=2时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若不等式f（x）≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=2时，f（x）≥6，即|x-2|+|x+1|≥6，通过讨论x的范围，从而求得不等式f（x）≥6的解集；
（2）由绝对值不等式的性质求得f（x）的最小值为|m+1|，由题意得|m+1|≥6，由此求得m的范围．

解答 解：（1）m=2时，f（x）≥6，即|x-2|+|x+1|≥6，
x＜-1时，-2x+1≥6，即x≤-$\frac{5}{2}$，故x≤-$\frac{5}{2}$，
-1≤x≤2时，得：3≥6不成立，
x＞2时，得：2x-1≥6，即x≥$\frac{7}{2}$，故x≥$\frac{7}{2}$，
故不等式的解集是{x|或x≤-$\frac{5}{2}$x≥$\frac{7}{2}$}；
（2）f（x）=|x+1|+|m-x|≥|（x+1）+（m-x）|=|m+1|，
由题意得|m+1|≥6，
则m+1≥6或m+1≤-6，解得：m≥5或m≤-7，
故m的范围是（-∞，-7]∪[5，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．