Question

6．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，且可知左焦点为F'（-2，0），利用已知条件列出方程，求出a，c然后求解b，即可得到椭圆方程．
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为$y=\frac{3}{2}x+t$．联立直线与椭圆方程，利用判别式△≥0，推出t的范围，利用点到直线的距离公式公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，且可知左焦点为F'（-2，0），
从而有$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ 2a=|AF|+|AF'|=3+5=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ a=4\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，∴b²=12．
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为$y=\frac{3}{2}x+t$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}x+t\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\end{array}\right.$得3x²+3tx+t²-12=0．
∵直线l与椭圆C有公共点，∴△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，解得$-4\sqrt{3}≤t≤4\sqrt{3}$．
另一方面，直线OA与l的距离等于4，可得$\frac{|t|}{{\sqrt{\frac{9}{4}+1}}}=4$，从而$t=±2\sqrt{13}$．
由于$±2\sqrt{13}∉[-4\sqrt{3}，4\sqrt{3}]$，∴符合题意的直线l不存在．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，存在性问题的处理方法，考查转化思想，是难度比较大的题目．