Question

3．已知函数f（x）=x²+lnx
（1）求y=-f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=ax-f（x）存在极值，且所有极值之和大于5-ln$\frac{1}{2}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
（2）方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）y′=-2x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{{2x}^{2}+1}{x}$＜0，
故函数y=-f（x）在（0，+∞）递减；
（2）g（x）=ax-x²-lnx，（x＞0），
g′（x）=a-2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{-{2x}^{2}+ax-1}{x}$，（x＞0），
∵g（x）存在极值，
∴g′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根．
设方程2x²-ax+1=0的两根为x₁，x₂，
由韦达定理得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{•x}_{2}=\frac{1}{2}＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=\frac{a}{2}＞0}\end{array}\right.$，
所以方程的根必为两不等正根．
f（x₁）+f（x₂）=a（x₁+x₂）-（x₁²+x₂²）-（lnx₁+lnx₂）
=$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1-ln$\frac{1}{2}$＞5-ln$\frac{1}{2}$，
∴a²＞16，
又a²＞16满足方程2x²-ax+1=0判别式大于零，
故所求取值范围为（4，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．