Question

下列说法：
①命题“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
②关于x的不等式a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立，则a的取值范围是a＜3；
③对于函数f（x）=

ax

1+|x|

（a∈R且a≠0），则有当a=1时，?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
④

∫

1 0

1-x2

dx≤

∫

e 1

1

x

dx}
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用命题的否定即可判断出；
②令sin²x=t∈[0，1]，f（t）=t+

2

t

，利用导数研究函数的单调性；
③对于函数f（x）=

ax

1+|x|

（a∈R且a≠0），则有当a=1时，若k∈（1，+∞），利用导数研究函数的单调性奇偶性即可判断出；
④利用微积分基本定理计算出即可判断出．

解答： 解：①命题“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，正确；
②令sin²x=t∈[0，1]，f（t）=t+

2

t

，f′（t）=1-

2

t2

＜0，因此函数f（t）在t∈[0，1]单调递减，∴f（t）≥f（1）=3，则a的取值范围是a＜3，正确；
③对于函数f（x）=

ax

1+|x|

（a∈R且a≠0），当a=1时，假设k∈（1，+∞），则当x＞0时，g（x）=

x

1+x

-kx，g′（x）=

1

(1+x)2

-k＜0，于是函数g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，即当x＞0时，函数g（x）无零点，由于函数g（x）为奇函数，因此x＜0，也无零点，因此函数g（x）只有一个零点；
④

∫

1 0

1-x2

dx=

1

4

×π×12=

π

4

，

∫

e 1

1

x

dx=lnx

|

e 1

=1，∴

∫

1 0

1-x2

dx≤

∫

e 1

1

x

dx，正确．
其中正确的是 ①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、微积分基本定理、函数的奇偶性、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．