Question

已知两函数f（x）=7x²-28x-c，g（x）=2x³+4x²-40x．
（1）对任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求实数c的取值范围；
（2）存在x∈[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，求实数c的取值范围；
（3）对任意x₁，x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂），求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：构造函数k（x）=f（x）-g（x）=-2x³+3x²+12x-c，x∈[-3，3]，
（1）求出k（x）的最大值k（x）_大≤0即可．
（2）求出k（x）的最大值k（x）_小≤0即可．
（3）运用算求出f（x）_大≤g（x）_小即可．

解答： 解：∵f（x）=7x²-28x-c，g（x）=2x³+4x²-40x．
k（x）=f（x）-g（x）=-2x³+3x²+12x-c，x∈[-3，3]，
k′（x）=-6x²+6x+12，
-6x²+6x+12=0，x=-1，x=2，
-6x²+6x+12＞0，-1＜x＜2
-6x²+6x+12＜0，x＜-1或x＞2，

x	[-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3]
y′	-	0	+	0	-
y	减	极小值	增	极大值	减

k（-3）=-63-c，k（3）=117-c，
k（-1）=-7-c，k（2）=20-c，
最大值为117-c，最小值-63-c，
（1）∵对任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，
∴117-c≤0，即c≥117，
（2）∵存在x∈[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，
∴-63-c≤0，
即c≥-63，
（3）f（x）=7x²-28x-c，g（x）=2x³+4x²-40x．
f（x）大=f（-3）=147-c，g′（x）=6x²+8x-40，
与用导数可求解得出g（x）_小=g（2）=-80，
∵对任意x₁，x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂），
∴147-c≤-80，
c≥227，

点评：本题综合考查了不等式的恒成立问题，转化为最大值，最小值的比较，关键是能分清任意与存在的区别与联系，属于难题．