Question

6．已知边长为$2\sqrt{2}$的正方形ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，若球O的体积为36π，则直线OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 设ABCD的中心为M，则∠OAM为所求角，求出球的半径和正方形的对角线长，在Rt△OAM中求出cos∠OAM．

解答 解：设正方形ABCD的中心为M，连结OM，OA，则OM⊥平面ABCD，
∴∠OAM为OA与平面ABCD所成的角．
设球的半径为r，则$\frac{4π{r}^{3}}{3}$=36π，解得r=3，即OA=3，
∵正方形ABCD边长为2$\sqrt{2}$，∴AM=2，
∴cos∠OAM=$\frac{AM}{OA}=\frac{2}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题．