Question

8．矩形ABCD的两条边AB和AD所在直线的方程分别是x-2y+4=0和2x+y-7=0，它的对角线的交点M的坐标是（-1，1），求边BC和边CD所在直线的方程．

Answer 1

分析 方法一：先求出A的坐标，设出C点的坐标，根据中点坐标公式求出C点的坐标，再求出直线BC和CD的斜率，从而求出直线方程即可；
方法二：先设出直线BC和CD的方程，根据平行关系求出即可．

解答 解：（方法一）
解联立方程组$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ 2x+y-7=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$
∴点A的坐标为A（2，3）…（3分）
∵点M（-1，1）是AC的中点
设点C的坐标为C（x₀，y₀），则有$\frac{{2+{x_0}}}{2}=-1$且$\frac{{3+{y_0}}}{2}=1$
解得x₀=-4，y₀=-1
∴点C的坐标为（-4，-1）…（6分）
∵CD∥AB，BC∥AD
∴k_BC=k_AD=-2，${k_{CD}}={k_{AB}}=\frac{1}{2}$…（8分）
∴直线BC的方程是y-（-1）=-2[x-（-4）]，即2x+y+9=0
直线CD的方程是$y-（-1）=\frac{1}{2}[x-（-4）]$，即x-2y+2=0…（12分）
（方法二）
依题意知CD∥AB，BC∥AD
设直线BC和CD的方程分别是2x+y+m=0和x-2y+n=0…（4分）
设点M到直线AB，BC，CD，AD的距离分别为d₁，d₂，d₃，d₄，则有d₁=d₃，d₂=d₄
∴$\frac{{|{-1-2×1+4}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-2）}^2}}}}=\frac{{|{-1-2×1+n}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-2）}^2}}}}$，$\frac{{|{2×（-1）+1-7}|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{{|{2×（-1）+1+m}|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}$…（8分）
解得n=2或n=4（舍去），m=9或m=-7（舍去）          …（10分）
∴直线BC和CD的方程分别是2x+y+9=0和x-2y+2=0…（12分）．

点评 本题考察了待定系数法求直线的方程问题，考察直线的位置关系以及中点坐标公式，是一道中档题．