Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

6

3

，且椭圆C上的点到点Q（2，0）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程．
（2）已知过点T（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB=90°，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由e=

6

3

，可得a²=3b²，古设椭圆的方程为

y2

3b2

+

x2

b2

=1，利用椭圆C上的点到点Q（2，0）的距离的最大值为3，求出b，即可求椭圆C的方程．
（2）由已知，以AB为直径的圆与X轴有公共点，直线l：y=kx+2代入

y2

3

+x2=1得

△=12k2-12＞0 6 3+k2 ≤ 1 2 |AB|

，即可确定直线l的斜率k的取值范围．

解答： 解：（1）∵e=

6

3

，∴a²=3b²，
设椭圆的方程为

y2

3b2

+

x2

b2

=1，设P（x，y）为椭圆C上任意一点，
|PQ|²=（x-2）²+y²=-2（x+1）²+6+3b²…（2分）
由于x∈[-b，b]，当b≥1时，此时|PQ|²取得最大值6+3b²=9，∴b²=1，a²=3
当b＜1时，此时|PQ|²取得最大值（b+2）²=9，不符合题意…（5分）
故所求椭圆方程为

y2

3

+x2=1…（6分）
（2）由已知，以AB为直径的圆与X轴有公共点，…（7分）
设A（x₁，y₁），b（x₂，y₂），AB中点M（x₀，y₀）
直线l：y=kx+2代入

y2

3

+x2=1得（3+k²）x²+4kx+1=0，△=12k²-12
∴x0=

x1+x2

2

=

-2k

3+k2

，y0=kx0+2=

6

3+k2

，…（8分）
|AB|=

1+k2

△

3+k2

=

2 3 k4-1

3+k2

…（10分）
∴

△=12k2-12＞0 6 3+k2 ≤ 1 2 |AB|

解得：k⁴≥13，即k≥

4	13

或k≤-

4	13

…（12分）
∴所求直线l的斜率k的取值范围是k≥

4	13

或k≤-

4	13

…（13分）

点评：本题考查椭圆的性质与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．