Question

f（x）是关于x的一次函数，且f（2），f（4），f（8）成等比数列，f（15）=15，已知S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），n为正整数，求g（n）=

n

(n-32)Sn+166n

（其中n为正整数）的最大值．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件求出f（x）=x，S_n=

n(n+1)

2

，从而得到g（n）=

n

(n-32)Sn+166n

=

2

n2-31n+300

，由此能求出当n=15或n=16时，g（n）=

n

(n-32)Sn+166n

（其中n为正整数）取最大值g（15）=g（16）=

1

30

．

解答： 解：∵f（x）是关于x的一次函数，∴设f（x）=kx+b，k≠0，
∵f（2），f（4），f（8）成等比数列，f（15）=15，
∴

(4k+b)2=(2k+b)(8k+b) 15k+b=15

，
解得k=1，b=0，
∴f（x）=x，
∴S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∴g（n）=

n

(n-32)Sn+166n

=

n

(n-32)× n(n+1) 2 +166n

=

2

n2-31n+300

，
∴当n=15或n=16时，
g（n）=

n

(n-32)Sn+166n

（其中n为正整数）取最大值g（15）=g（16）=

1

30

．

点评：本题考查数列的前n项和的最大值的求法，是中档题，解题时要注意数列的函数特性的合理运用．