Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=

2

．
（I）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B一PC-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连接PO，CO，AC，由已知条件推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．
（Ⅱ）由已知得OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B一PC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC，
∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB…（2分）
又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB…（4分）
又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，
又PC?平面PCO，∴AB⊥PC    …（6分）
（Ⅱ）解：∵ABCD为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=

2

，
∴PO=1，CO=

3

，∴OP²+OC²=PC²，
∴OP⊥OC，
以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（0，1，0），C（

3

，0，0），
P（0，0，1），D（

3

，-2，0），

BC

=（

3

，-1，0），

PC

=（

3

，0，-1），

DC

=（0，2，0），
设平面DCP的法向量

n

=（x，y，z），
则

PC • n = 3 x-z=0 DC • n =2y=0

，令x=1，得

n

=（1，0，

3

），
设平面PCE的法向量

m

=（a，b，c），

PC • m = 3 a-c=0 BC • m = 3 a-b=0

，令a=1，得

m

=（1，

3

，

3

），
cos＜

m

，

n

＞=

1+3

2 7

=

2 7

7

，
∵二面角B一PC-D为钝角，∴二面角B一PC-D的余弦值为-

2 7

7

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．