Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F做一条斜率小于0的直线，且该直线与一条渐近线垂直，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，

FB

=2

FA

，则此双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由向量的共线定理可得A为FB的中点，OA为FB的垂直平分线，运用等腰三角形的知识，再由F到直线OA的距离即为b，求得OA=a，再由渐近线的对称性，即可得到∠AOF=60°，由离心率公式，结合解直角三角形即可得到所求值．

解答： 解：如图，

FB

=2

FA

，则A为FB的中点，
OA为FB的垂直平分线，
则|OB|=|OF|=c，
由渐近线y=

b

a

x，F（c，0），
|AF|=

| bc a |

1+ b2 a2

=b，
即有|OA|=

c2-b2

=a，
由于∠AOF=∠AOB=∠BOH=60°，
则离心率e=

c

a

=

1

cos60°

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查平面向量的共线定理，考查单调直线的距离公式，考查等腰三角形的性质和解直角三角形的知识，注意运用几何法，可简化运算过程，属于中档题．