Question

13．如图，P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面对角线A₁C₁上的一个动点，正方体的棱长为1，
（1）求PA与DB所成角；
（2）求DC到面PAB距离d的取值范围；
（3）若二面角P-AB-D的平面角为α，二面角P-BC-D的平面角为β，
求α+β最小时的正切值．．

Answer 1

分析 （1）如图所示，连接DC，AC，DC∩AC=O，由正方形的性质可得：AC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得：AA₁⊥BD．即可证明BD⊥平面ACC₁A₁，进而得出PA与DB所成角．
（2）由DC∥AB，可得DC∥平面PAB，因此直线DC上的任意一点到平面的距离即为DC到面PAB距离d．当点P取点C₁时，d取得最小值；当点P取点A₁时，d取得最大值，即可得出DC到面PAB距离d的取值范围．
（3）过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，M，N分别为垂足，作PE⊥平面ABCD，垂足为E，连接EM，EN．由三垂线定理可得：AB⊥EM，BC⊥EN，EM+EN=1．则∠PME是二面角P-AB-D的平面角，∠PNE是二面角P-BC-D的平面角，可得tanα=$\frac{1}{EM}$，tanβ=$\frac{1}{EN}$．tan（α+β）=$\frac{1}{EM•EN-1}$，由1=EM+EN≥2$\sqrt{EN•EB}$，即可得出．

解答 解：（1）如图所示，连接DC，AC，DC∩AC=O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又AA₁⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴又AA₁⊥BD．
又AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，PA?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥PA．∴PA与DB所成角为90^°．
（2）∵DC∥AB，DC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴DC∥平面PAB，因此直线DC上的任意一点到平面的距离即为DC到面PAB距离d．
当点P取点C₁时，d取得最小值，点C到对角面ABC₁的距离d=$\frac{1}{2}{B}_{1}C$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当点P取点A₁时，d取得最大值，点C到侧面ABB₁A₁的距离d=BC=1．
∴DC到面PAB距离d的取值范围是$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．
（3）过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，M，N分别为垂足，作PE⊥平面ABCD，垂足为E，连接EM，EN．
由三垂线定理可得：AB⊥EM，BC⊥EN，EM+EN=1．
则∠PME是二面角P-AB-D的平面角，∠PNE是二面角P-BC-D的平面角，
∴∠PME=α，∠PNE=β．
则tanα=$\frac{1}{EM}$，tanβ=$\frac{1}{EN}$．
tan（α+β）=$\frac{\frac{1}{EM}+\frac{1}{EN}}{1-\frac{1}{EM}•\frac{1}{EN}}$=$\frac{EM+EN}{EM•EN-1}$=$\frac{1}{EM•EN-1}$，
∵1=EM+EN≥2$\sqrt{EN•EB}$，当且仅当EN=EM=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴tan（α+β）的最小值为$\frac{1}{\frac{1}{4}-1}$=-$\frac{4}{3}$．
∴α+β最小时的正切值为$-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系与空间角、线面平行与垂直的判定与性质定理、正方形的性质、直角三角形的边角关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．