Question

17．若直线2ax+by-1=0（a＞0，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出函数的对称中心坐标，推出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．

解答 解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心（$\frac{1}{2}$，1）．
直线2ax+by-1=0（a＞0，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，
可得a+b=1．
$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=3+$\frac{2a}{b}$$+\frac{b}{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{b}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当b=$\sqrt{2}a$，a+b=1，即b=2$-\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}-1$时，表达式取得最小值．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与三角函数的位置关系的应用，基本不等式的综合应用，属于中档题．