Question

10．如图所示，已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点O，过点，M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点．
（1）求证：以AB为直径的圆过原点O；
（2）若坐标原点关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁相切，求椭圆C₁的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线C₂的标准方程，利用焦点F（1，0），即可得出结论；设AB：x=4+ny，代入抛物线方程，证明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即可得出结论；
（2）P（4t²，4t），则OP⊥l，且OP的中点（2t²，2t）在直线l上，直线方程代入椭圆方程，利用△=0，可得结论．

解答 （1）解：抛物线C₂的标准方程为：y²=2px，
∵焦点F（1，0），
∴p=2
∴抛物线C₂的标准方程为y²=4x；
设AB：x=4+ny，代入抛物线方程得y²-4ny-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-16，x₁x₂=$\frac{{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}{16}$=16，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴以AB为直径的圆过原点；
（2）解：设P（4t²，4t），则OP⊥l，且OP的中点（2t²，2t）在直线l上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}=4+2nt}\\{\frac{4t}{4{t}^{2}}=n}\end{array}\right.$，∴n=±1，
由对称性，不妨设t＜0，则n=1，直线l：x=y+4
设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，a²＞1，a＞0，与直线x=y+4联立可得（2a²-1）y²+8（a²-1）y-a⁴+17a²-16=0，
由△=0得a²=$\frac{17}{2}$，b2=$\frac{15}{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{2{x}^{2}}{17}$+$\frac{2{y}^{2}}{15}$=1

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．