Question

设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
（3）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为.

Answer 1

（1）减区间为,增区间，（2），（3）详见解析.

试题分析：（1）利用导数求函数单调性，有四个步骤.一是求出定义域：，二是求导数，三是分析导数符号变化情况：，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为,增区间.（2）已知函数单调性研究参数范围问题，通常转化为恒成立问题. 因为函数在区间上是减函数，所以对任意恒成立.而恒成立问题又利用变量分离法解决,即对任意恒成立. 因此（3）求切点问题，从设切点出发，利用切点处导数等于切线斜率列等量关系：.解这类方程，仍需利用导数分析其单调性，利用零点存在定理解决.
试题解析：解: （1）时, ，
 ，                  1分
，
的减区间为,增区间.                3分
（2）
在区间上是减函数，
对任意恒成立，
即对任意恒成立，                5分
对任意恒成立，
令，
，                                       7分
易知在单调递减，.
.                                            8分
（3）设切点为，，
切线的斜率，又切线过原点，
，
存在性：满足方程，
所以，是方程的根.                  11分
再证唯一性：设，，
在单调递增，且，
所以方程有唯一解.
综上，切点的横坐标为.                              13分