Question

6．数列{a_n}满足：a_n+2=qa_n（q≠1，n∈N^*），a₁=1，a₂=3，且a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列．
（Ⅰ）求q的值，并求a₃，a₅的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由a _n+2=qa_n（q≠1，n∈N^*），a₁=1，a₂=3，可得a₃=q，a₄=3q，a₅=q²，由于a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列，可得a₂+a₃+a₄+a₅=2（a₃+a₄），代入解得q即可得出．
（II）由（I）可得：数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3．利用等比数列的通项公式即可得出．
（III）由（II）可得：b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（I）∵a _n+2=qa_n（q≠1，n∈N^*），a₁=1，a₂=3，
∴a₃=q，a₄=3q，a₅=q²，
∵a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列，∴a₂+a₃+a₄+a₅=2（a₃+a₄），
∴3+q+3q+q²=2（q+3q），化为：a²-4q+3=0，q≠1，解得q=3．
∴a₃=3，a₅=9．
（II）由（I）可得：数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3．
∴a_2k-1=3^k-1，a_2k=3×3^k-1=3^k．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{k-1}，n=2k-1}\\{{3}^{k}，n=2k}\end{array}\right.$，（k∈N^*）．
（III）由（II）可得：b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
相减可得：$\frac{2}{3}$S_n=1+$\frac{1}{3}$$+（\frac{1}{3}）^{2}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n-1}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．