题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0），O为坐标原点，P，Q为椭圆上两动点，且OP⊥OQ．求：
（1）
+
；
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值；
（3）S△OPQ的最小值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值；
（3）S△OPQ的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设出P，Q点的坐标，再设出PQ所在直线方程，联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程由根与系数关系得到P，Q两点的横纵坐标的和与积，结合OP⊥OQ得到点O到直线PQ的距离d=
=
为定值．
（1）直接通分后借助于
=
计算；
（2）由不等式的性质结合（1）的结论得答案；
（3）写出S△OPQ，然后利用基本不等式求最值．
| |m| | ||
|
| ab | ||
|
（1）直接通分后借助于
| |m| | ||
|
| ab | ||
|
（2）由不等式的性质结合（1）的结论得答案；
（3）写出S△OPQ，然后利用基本不等式求最值．
解答：
解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0．
设PQ方程：y=kx+m，代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2，
整理得：（a2k2+b2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0．
∴x1+x2=-
，x1x2=
．
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2．
∴
(1+k2)-
+m2=0．
化简得：（a2+b2）m2=a2b2（1+k2）．
=
．
即
=
．
∴点O到直线PQ的距离d=
=
为定值．
（1）
+
=
=
=
=
+
；
（2）由
+
≥
，得：|OP|•|OQ|≥
．
∴|OP|2+|OQ|2≥2|OP|•|OQ|≥
=
=
；
（3）S△OPQ=
|OP|•|OQ|≥
=
．
∵OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0．
设PQ方程：y=kx+m，代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2，
整理得：（a2k2+b2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0．
∴x1+x2=-
| 2kma2 |
| a2k2+b2 |
| a2m2-a2b2 |
| a2k2+b2 |
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2．
∴
| a2m2-a2b2 |
| a2k2+b2 |
| 2k2m2a2 |
| a2k2+b2 |
化简得：（a2+b2）m2=a2b2（1+k2）．
| m2 |
| 1+k2 |
| a2b2 |
| a2+b2 |
即
| |m| | ||
|
| ab | ||
|
∴点O到直线PQ的距离d=
| |m| | ||
|
| ab | ||
|
（1）
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| |OP|2+|OQ|2 |
| |OP|2•|OQ|2 |
| |PQ|2 |
| |PQ|2•d2 |
| 1 |
| d2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
（2）由
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 2 |
| |OP|•|OQ| |
| 2 | ||||
|
∴|OP|2+|OQ|2≥2|OP|•|OQ|≥
| 2 | ||||
|
| 4 | ||||
|
| 4a2b2 |
| a2+b2 |
（3）S△OPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 | ||||
|
| a2b2 |
| a2+b2 |
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了数学转化思想方法和设而不求的解题思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常借助于一元二次方程的根与系数关系解题．是难度较大的题目．
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