Question

已知f（x）=ax-2-lnx（a∈R），当x＞0时，求证f（x）-ax+e^x＞0．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：证明题,导数的综合应用

分析：构造g（x）=e^x-2-lnx，两次对g（x）求导，再令h（x）=g′（x）=0，令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=

1

m

，-m=lnm，再讨论0＜x＜m，x＞m，g（x）的单调性，得到g（x）＞g（m），由基本不等式证明g（m）＞0即可．

解答： 证明：∵f（x）=ax-2-lnx（x＞0），
∴令g（x）=f（x）-ax+e^x=e^x-2-lnx，
∵g′（x）=e^x-

1

x

，
令h（x）=g′（x），则h′（x）=e^x+

1

x2

＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=

1

m

，-m=lnm，
当0＜x＜m时，h（x）＜0，则g（x）在（0，m）上递减，g（x）＞g（m）=e^m-2-lnm=

1

m

+m-2＞2-2，
即g（x）＞0；
当x＞m时，h（x）＞0，则g（x）在（m，+∞）上递增，g（x）＞g（m）=

1

m

+m-2＞2-2，
即g（x）＞0．
故当x＞0时，f（x）-ax+e^x＞0．

点评：本题考查导数的应用：判断函数的单调性，以及构造函数的思想，考查函数的单调性和应用，属于中档题．