Question

【题目】已知以椭圆C：（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形，直线x+y+1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y＝x+2上，A、B在椭圆C上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝x+1或.

【解析】

（1）由两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形，得出，于是得出，然后利用圆心到直线的距离等于圆的半径列出等式，并代入关系式可得出、、的值，即可得出椭圆的方程；（2）根据矩形对边互相平行，设直线的方程为，并设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由得出的取值范围，列出韦达定理，利用弦长公式得出的表达式，利用两平行直线的距离公式得出直线和的距离，即为，再由列出有关的方程，即可求出的值，于是可得出直线的方程.

（1）由题意知，以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆长半轴长为半径的圆的方程为，

圆心到直线x+y+1＝0的距离，①

∵以椭圆C的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形为等腰直角三角形，

所以，b＝c，，代入①式得b＝c＝1，.

因此，所求椭圆的方程为；

（2）设直线AB的方程为y＝x+m，代入椭圆C的方程，整理得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，

由△＞0，得，

设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，.

，易知，

则由知，

所以，由已知可得，即，

整理得41m2+30m﹣71＝0，解得m＝1或，

所以，直线AB的方程为y＝x+1或.