Question

【题目】某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．

（1）若当时，，求此时的值；

（2）设，且．

（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；

（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)(i)，；(ii).

【解析】

（1）在中，由正弦定理可得所求；

（2）（i）由余弦定理得，两式相加可得所求解析式．（ii）在中，由余弦定理可得，根据的最大值不小于可得关于的不等式，解不等式可得所求．

（1）在中，由正弦定理得，

所以，

即．

（2）（i）在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

又

所以，

即．

又，解得，

所以所求关系式为，．

（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值．

在中，由余弦定理可得

，

因为的最大值不小于，

所以，解得，

经验证知，

所以．

即两处喷泉间距离的最小值为．