Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）在（1）、（2）的条件下，若对任意的t∈R，不等式f（t²+2）≥f（k+2t）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，即可求得a；
（2）函数f（x）在R上递增．运用单调性的定义证明，注意作差和变形、定符号和下结论；
（3）运用单调性，不等式f（t²+2）≥f（k+2t）对任意的t∈R恒成立，即为t²+2≥k+2t对任意的t∈R恒成立，即k≤t²-2t+2=（t-1）²+1，求出右边的最小值即可．

解答： 解：（1）函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，
即有a-

2

20+1

=0，解得，a=1；
（2）函数f（x）在R上递增．
理由如下：设m＜n，则f（m）-f（n）=1-

2

2m+1

-（1-

2

2n+1

）
=

2(2m-2n)

(1+2m)(1+2n)

，
由于m＜n，则2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，2^m＞0，2ⁿ＞0，
则f（m）-f（n）＜0，即有函数f（x）在R上递增；
（3）由于函数f（x）在R上递增，
则不等式f（t²+2）≥f（k+2t）对任意的t∈R恒成立，
即为t²+2≥k+2t对任意的t∈R恒成立，
即k≤t²-2t+2=（t-1）²+1，
当t=1时，右边去最小值1．
故k≤1．
故实数k的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查函数的单调性的证明和运用：解不等式，注意不等式恒成立问题转化为求最值问题，属于中档题．