Question

已知函数f（x）=alnx+

2a2

x

+x（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）先求导函数，然后根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直则f′（1）=-2，从而可求出a的值；
（2）确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可求得函数f（x）的单调性．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=

a

x

-

2a

x2

+1（x＞0）
根据题意，有f′（1）=-2，所以2a²-a-3=0，解得a=-1或a=

3

2

；
（2）f′（x）=

(x-a)(x+2a)

x2

（x＞0）
（1）当a＞0时，因为x＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．
所以函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减；
（2）当a＜0时，因为x＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞-2a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜-2a．
所以函数f（x）在（-2a，+∞）上单调递增，在（0，-2a）上单调递减．

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．