题目内容

18．在数列{an}中，a1=2，2（an+1-1）（an-1）+an+1-an=0（n∈N*），若an＜$\frac{201}{199}$，则n的最小值为（　　）
A．50B．51C．100D．101

分析 令an-1=bn，确定，可得数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出bn，可得an，利用an＜$\frac{201}{199}$，建立不等式，即可得出结论．

解答 解：令an-1=bn，则
∵2（an+1-1）（an-1）+2an+1-2an=0，
∴2bn+1bn+bn+1-bn=0
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=2，
∵a1=2，∴$\frac{1}{{b}_{1}}$=1，{$\frac{1}{{b}_{b}}$}是等差数列，公差为2．
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴bn=$\frac{1}{2n-1}$，
∴an=$\frac{2n}{2n-1}$，
∵an＜$\frac{201}{199}$，
∴$\frac{2n}{2n-1}$＜$\frac{201}{199}$，
∴n＞50+$\frac{1}{4}$，
∴n的最小值为50．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，考查学生的计算能力，正确转化是关键．

练习册系列答案
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A．1B．2C．3D．4
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